# 3D MHD Test: Magnetosphere

地球磁気圏に太陽風が吹き付け、地球磁気圏が変形する様子をシミュレーションします。{cite}`ogino_1986JGR....91.6791O`を参考にして、地球の中心から地球半径の3.5倍の位置にも境界を設置し、地球の双極子磁場とスムーズに接続するようにしています。

## Location

`demo/mhd3d_magnetosphere/`

## Normalization

物理量は以下の代表値で規格化しています。{cite}`ogino_1986JGR....91.6791O`ではMKS単位系が使われていますが、本シミュレーションではcgs単位系を使用していることに注意してください。

| Quantity       | Symbol            | Value                   | Note |
|:--------------:|:-----------------:|:-----------------------:|:----:|
| Length         | $R_\mathrm{e}$    | $6.371 \times 10^8~\rm{cm}$   | Earth radius|
| Magnetic Field | $B_\mathrm{s}$    | $3.12 \times 10^{-1}~\rm{G}$  | Strength at earth equator surface|
| Density        | $\rho_\mathrm{s}$ | $1.67 \times 10^{-20}~\mathrm{g~cm^{-3}}$                  | Typical density of ionosphere |

Then the other quantities are normalized as follows.

| Quantity       | Symbol            | Value                                           |
|:--------------:|:-----------------:|:-----------------------------------------------:|
| Velocity       | $V_\mathrm{s}$    | $B_{\rm{s}}/\sqrt{4\pi \rho_{\rm{s}}}=6.81\times 10^8~\rm{cm~s^{-1}}$|
| time           | $t_\mathrm{s}$    | $R_{\rm{e}}/V_{\rm{s}}=0.935~\rm{s}$            |
| Pressure       | $p_\mathrm{s}$    | $B_{\rm{s}}^2/4\pi=7.74\times 10^{-3}~\rm{dyn~cm^{-2}}$|

## Geometry

- $-44.8 \leq x \leq 44.8$
- $-44.8 \leq y \leq 44.8$
- $-44.8 \leq z \leq 44.8$

## Force

地球の中心に向かう重力を考慮します。

$$
\begin{align*}
\frac{\partial \rho \bm{v}}{\partial t} &= [...] + \rho \bm{g}, \\
\bm{g} & = -\frac{g_0}{r^3} \left(x \bm{e}_x + y\bm{e}_y + z\bm{e}_z\right),\\
r^2 &= x^2 + y^2 + z^2,
\end{align*}
$$

where $g_0=1.35\times10^{-6}$ in normalized unit.

## Initial Conditions

初期条件は、磁気圏と太陽風の組み合わせで記述されます。比熱比は$\gamma = 5/3$とします。

密度

$$
\begin{align*}
\rho &=
\begin{cases}
1/r^3 & 1/r^3 \geq 0.2\rho_\mathrm{sw} \\
0.2\rho_\mathrm{sw} & 1/r^2 < 0.2\rho_\mathrm{sw}
\end{cases}
\end{align*}
$$

圧力

$$
\begin{align*}
p =
\begin{cases}
p_0/r^2 & p_0/r^2 \geq p_\mathrm{sw} \\
p_\mathrm{sw} & p_0/r^2 < p_\mathrm{sw}
\end{cases}
\end{align*}
$$

双極子磁場

$$
\begin{align*}
\bm{B} &= \frac{1}{r^5}
\begin{pmatrix}
-3xz \\
-3yz \\
x^2 + y^2 - 2z^2
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

ここで$p_0 = 5.4\times10^{-7}$。
太陽風のパラメータは、$\rho_\mathrm{sw}=5\times10^{-4}$、$p_\mathrm{sw}=3.56\times10^{-8}$、$v_\mathrm{sw}=0.05$、$B_\mathrm{sw}=-1.5\times10^{-4}$です。

## Boundary Conditions

すべての境界に対して、$x = -44.8$境界を除き、全ての物理量に対して対称境界条件を設定します。$x = -44.8$境界では、上記の太陽風のパラメータを固定境界条件として設定します。`config.yaml`では以下のように設定します。加えて、地球周辺($r = 3.5R_\mathrm{E}$)に境界のような条件を設定し、双極子磁場とスムーズに接続するようにしています。

## Results

可視化用のPythonスクリプトが用意されています。
結果のプロットは `demo/mhd3d_magnetosphere/figs` に保存されます。

```shell
cd demo/mhd3d_magnetosphere
python plot_data.py
```

![mhd3d_magnetosphere](../_static/images/geomagnetosphere_3d.gif)